Düğüm teorisi: Bir İpi Kaç Kez Düğümlemek Mümkün

Matematikte genellikle bizi beklenmedik yollara sürükleyen basit bir soruyla başlarız. Örneğin, bir ipi kendi başına kaç kez düğümlemek mümkündür? Gerçek dünyada, cevabı çeşitli fiziksel kısıtlamalar belirler: halatın uzunluğu, elastik kapasitesi ve kalınlığı. Ancak soruyu tüm bu fiziksel kısıtlamalardan çıkarırsak, matematiksel bir beyin jimnastiği ile karşı karşıya kalırız.

Matematiksel bir düğüm, uzayda dolaşan ve parçalarını kırmadan manipüle ederek çözülebilen elastik bir eğridir. Matematiksel düğümlerin uçları, bir daire oluşturan çizgi gibi birbirine kaynaşmıştır. Bu en basit düğümdür, önemsiz düğümdür; ama tek değil.

Bu matematiksel varlıkların çeşitliliği sonsuzdur ve topolojinin bir alanı olan düğüm teorisinin görevlerinden biri de onu tanımlamaktır. Bunu yapmak için, iki düğümün ne zaman aynı olduğunu belirlemek gerekir: örneğin, birini diğerine kırmadan bükmek mümkün olduğunda bunlar aynı olacaktır. Umarım aynılarsa bu süreç bir noktada biter ama öyle değillerse bir cevaba ulaşmadan çok zaman geçirebiliriz.

Bizi bu yola düşmekten kurtarmak için düğüm teorisi, daha kolay kontrol edilebilecek matematiksel özellikleri belirlemeye özen gösterir. Bunlardan en basiti, bir kağıda çizildiğinde eğrinin kaç kez kesiştiğini saymaktır, bu da hangi parçanın yukarıdan hangi parçanın aşağıdan geçtiğini gösterir.

Bununla birlikte, aynı düğüm, yalnızca çekildiği bakış açısına göre değil, birçok farklı temsili diyagrama sahip olabilir. Düğümün bir kısmını hafifçe bükerek kaybolacak bazı geçişler de olabilir.

Bir düğüm diyagramında elde edilebilecek minimum geçiş sayısı bize iki düğümün farklı olup olmadığını söyler; örneğin, birinin üç, diğerinin dört geçişi varsa. Ayrıca düğümleri, en basitinden başlayarak büyük bir katalogda düzenlemeyi mümkün kılar: herhangi bir geçiş olmadan çizilebilen daire veya önemsiz düğüm.

Bir veya iki çaprazlama ile çizilebilen tüm düğümler, bir daire ile aynı olacak şekilde manipüle edilebilir. Üç geçişli yalnızca bir düğüm vardır ve bu, ilk önemsiz düğüm olan yonca düğümü olarak bilinir. Sekiz rakamlı düğüm , dört geçişle çekilebilen tek düğümdür, ancak bu sayıda geçişten sonra çeşitlilikte ani bir artış olur. On geçişe kadar olan düğüm kataloğu 250 farklı düğüme sahiptir ve 19'a kadar sayı 300 milyonu aşmaktadır.

Vahşi bir düğümün sonsuz sayıda geçişi vardır ve başlangıçta sorduğumuz soruya bir yanıt sağlar. Bunu hayal etmek için, sonsuz olmasına rağmen nispeten basit bir tarif kullanabiliriz. Önemli bileşen, tüm uzayın yansıyan görüntüsünü kürenin içindeymiş gibi yüzeylerinde gösteren küresel aynalarla ilgilidir. Ayna çoğu şekli deforme eder: düz çizgiler kavisli olarak görülür ve yüzümüze yansıyan yüzümüze baktığımızda kaçınılmaz olarak bir balık düşünürüz. Boyutu dışında yansıtıldığında değişmeyen tek şekil, başka herhangi bir kürenin şeklidir.

Tarifin anahtarı bu çünkü diğer küre de aynalardan yapılmış olabilir ve bu durumda, eğer dikkatli bakarsak ilk kürenin yansıyan görüntüsünü o kürenin yansımasında gözlemleyebiliriz! Vahşi bir düğüm oluşturmak için katalogdan bir düğümle başlıyoruz; önemsiz düğüm dışında herhangi bir düğüm yapacak ve ayrıca farklı boyutlarda olabilen birkaç küresel aynaya ihtiyacımız var. Ardından, küreler birer birer hayali bir ipe dizilir ve yeterince sıkı olduklarından emin olunarak ardışık küreler bir noktada birleşerek bir kolye oluşturur.

Daha sonra kolye seçilen düğümün şemasına göre düğümlenir ve uçlarındaki kürelerin de birbirine değmesine dikkat edilerek uçları kapatılır. Kolyenin geri kalanının bir kopyası kolyenin kürelerinin her birine yansıtılır ve bu kolye parçaları ardışık küreler halinde birleşerek daha küçük kürelerden yapılmış yeni bir kolye oluşturur. Bu yeni kolye, bir öncekinden daha karmaşıktır, çünkü her bir kürede tekrarlanan düğüm şeklini görebilirsiniz. Ayrıca, aynı zamanda yansıtıcı kürelerden yapıldığı için, bu yeni kolyede önceki adımı tekrarlayabilir ve sonsuza kadar devam edebiliriz.

Vahşi düğüm giderek küçülen sonsuz ayrıntılara sahiptir. Ve matematik sayesinde, tüm bu kolyelerin içinde, sonsuz düğümlü, uçsuz bucaksız tek bir ince eğri olduğunu biliyoruz: vahşi bir düğüm. Gerçekten de, her adımda kürelerin boyutu küçülür; ve her adımda daha fazla geçiş ekliyoruz.

Yüzeyde düz bir görüntü gösteren aynalardan farklı olarak, içeriye yansıyan kürelerin konumunu tam olarak tanımlayan açık ve kesin formüller olmasına rağmen, bu fikir, vahşi düğümleri hayal etmemize ve bunları matematik bakış açısıyla incelememize olanak tanır.

Kaynak : https://english.elpais.com/science-tech/2022-04-03/knot-theory-how-many-times-is-it-possible-to-twist-a-rope-on-itself.html